<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <title>Numεrωmikωn</title>
    <link rel="stylesheet" href="../stock.css">
    <link rel="icon" type="image/x-icon" href="../favicon.ico">
    <meta content="text/html;charset=utf-8" http-equiv="Content-Type"/>
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
  </head>

  <body>
    <div class ="nav">
      <a href="../index">Indεχ</a>
      <a href="../clanky">Článκy</a>
      <a class="active" href="../googologie">Gωωgωlωgiε</a>
      <a href="../o_mne">Ω mně</a>
    </div>

    <div class="content-googology">
      <h1>Pevné body ~ <i>f<sub>η<sub>0</sub></sub>(n)</i></h1>

      <p>Jak budeme pokračovat po <i>ε<sub>0</sub></i>? Mohli bychom si vytvořit libovolnou fundamentální posloupnost ordinálů, nicméně bude
      vhodnější zvolit takovou, která nám později pomůže porozumět Veblenovým funkcím. Prvně si musíme vysvětlit, co jsou pevné body:</p>

      <div class="math"> 
        <p>ε<sub>0</sub> = min{α|α = ω<sup>α</sup>} = sup{0, 1, ω, ω<sup>ω</sup>, ...}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Co ale znamená <i>min</i>? Slovně bychom řekli, že ordinál ε<sub>0</sub> je roven nejmenšímu ordinálu α takovému, 
      pro který platí, že ω<sup>α</sup> je stále roven α.</p>
      <p>Je to podobné těmto skutečnostem:</p>

      <div class="math"> 
        <p>ω = min{α|α = n + α}</p>
        <p>ω<sup>ω</sup> = min{α|α = ω<sup>n</sup> * α}</sup>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Jelikož ε<sub>0</sub> je roven nekonečné mocninné věži <i>ω</i>, dát další <i>ω</i> na začátek věže je úplně to samé jako
      přidat <i>1</i> před <i>ω</i>. Pevné body v matematice jsou takové vstupy, které se rovnají výsledku; vstup, který se zobrazí sám na sebe.</p>

      <p>Tato myšlenka bude podstatná pro tvorbu větších nekonečných ordinálů. Zkusme si vytvořit <i>ε</i> s větším indexem:</p>

      <div class="math">
        <p>ε<sub>1</sub> = min{β|β = ω<sup>β</sup> ∧ β &gt; ε<sub>0</sub>}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Možná si řekneš, že pokud <i>β</i> musí být pouze větší než <i>ε<sub>0</sub></i>, stačilo by využít <i>ε<sub>0</sub> + 1</i>, že?
      Ne tak rychle:</p>

      <div class="math"> 
        <p>ω<sup>ε<sub>0</sub> + 1</sup> = ω<sup>ε<sub>0</sub></sup> * ω = ε<sub>0</sub> * ω</p>
      </div>

      <p>A to podle našich pravidel ordinálové aritmetiky je nutně větší ordinál! Co kdybychom ale dosadili trochu větší ordinál?</p>

      <div class="math"> 
        <p>ω<sup>ω<sup>ε<sub>0</sub> + 1</sup></sup> = ω<sup>(ε<sub>0</sub> * ω)</sup> = (ω<sup>ε<sub>0</sub></sup>)<sup>ω</sup> = 
        ε<span class="supsub"><sup>ω</sup><sub>0</sub></span></p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Jak vidíme, není to tak lehké. Jak tedy ale vypadá fundamentální posloupnost, která vede k <i>ε<sub>1</sup></i>?</p>

      <div class="math">
        <p>ε<sub>1</sub> = sup{ε<sub>0</sub> + 1, ω<sup>ε<sub>0</sub> + 1</sup>, ω<sup>ω<sup>ε<sub>0 + 1</sup></sup>, ...}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Kdybychom to totiž vypočítali, vyšlo by nám <i>ε<span class="supsub"><sup>ε<span class="supsub"><sup>(...)</sup><sub>0</sub></span><sub>0</sub></span></i>.</p>

      <p>Pak by platilo stejné odůvodnění jako u <i>ω<sup>ε<sub>0</sub></sup> = ε<sub>0</sub></i>. To můžeme opakovat neomezeně:</p>

      <div class="math"> 
        <p>ε<sub>α + 1</sub> = min{β|β = ω<sup>β</sup> &and; β &gt; ε<sub>α</sub>} = sup{ε<sub>α</sub> + 1, ω<sup>ε<sub>α</sub> + 1</sup>, ...}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Co kdybychom chtěli použít mezní ordinál jako index pro <i>ε</i>?

      <div class="math"> 
        <p>ε<sub>α</sub> = sup{ε<sub>β</sub>|β &lt; α}
        <p>ε<sub>ω</sub> = sup{ε<sub>0</sub>, ε<sub>1</sub>, ε<sub>2</sub>, ...}
        <p>ε<sub>ω * 2</sub> = sup{ε<sub>ω + 0</sub>, ε<sub>ω + 1</sub>, ε<sub>ω + 2</sub>, ...}
        <p>ε<sub>ε<sub>0</sub></sub> = sup{ε<sub>0</sub>, ε<sub>1</sub>, ε<sub>ω</sub>, ε<sub>ω<sup>ω</sup></sub>, ...}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Teď jsme vybaveni pro nový pevný bod, ale než se na něj vrhneme, shrneme si fundamentální posloupnost všech ordinálů menší než
      budoucí pevný bod <i>ζ<sub>0</sub></i>:</p>

      <div class="math">
        <p>ε<sub>0</sub>[0] = 0</p>
        <p>ε<sub>0</sub>[n + 1] = ω<sup>ε<sub>0</sub>[n]</sup></p>
        <p>ε<sub>α + 1</sub>[0] = ε<sub>α</sub> + 1
        <p>ε<sub>α + 1</sub>[n + 1] = ω<sup>ε<sub>α + 1</sub>[n]</p>
        <p>ε<sub>β</sub>[n] = ε<sub>β[n]</sub>, je-li β mezní ordinál</p>
      </div>

      <p>------</p>
      
      <p>Podívejme se na krajní případ, kdy by index byla nekonečná věž <i>ε</i>:</p>

      <div class="math"> 
        <p>ζ<sub>0</sub> = min{γ|γ = ε<sub>γ</sub>}
        <p>ζ<sub>0</sub> = sup{0, ε<sub>0</sub>, ε<sub>ε<sub>0</sub></sub>, ...}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>To bude hodně velký ordinál! Podívejme se, jak bychom získali nový pevný bod:</p>

      <div class="math"> 
        <p>ζ<sub>α + 1</sub> = min{γ|γ = ε<sub>γ</sub> &and; γ &gt; ζ<sub>α</sub>}
      </div>

      <p>Aby <i>ζ</sub>α</sub></i> nepohltila <i>ε</i>, využijeme stejnou myšlenku jako u <i>ε<sub>1</sub></i>:</p>

      <div class="math">
        <p>ζ<sub>α + 1</sub>[0] = ζ<sub>α</sub> + 1
        <p>ζ<sub>α + 1</sub>[n + 1] = ε<sub>ζ<sub>α</sub>[n]</sub>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Stvořili-li bychom opět nekonečnou věž <i>ζ</i>, měli bychom tu ještě větší ordinál:</p>

      <div class="math"> 
        <p>η<sub>0</sub> = min{β|β = ζ<sub>β</sub>}</p>
        <p>η<sub>0</sub> = sup{0, ζ<sub>0,</sub>, ζ<sub>ζ<sub>0</sub>, ...}
      </div>

      <p>------</p>

      <p>To už je krvavé. Dále si ukážeme, jak mocné by rychle rostoucí funkce s těmito ordinály byly. Abychom měli šanci chápat, co se děje,
      porovnáme rychle rostoucí hierarchii s pomalu rostoucí hierarchií. Pak si zobecníme tento způsob vytváření větších nekonečných ordinálů 
      skrz pevné body.</p>
    </div>

    <footer>
      <p class="footer"><a class="silent" href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">Kristian Tichota (CC-BY-4.0)</a></p>
    </footer>
  </body>
</html>
